公約數/公倍數計算器

關於公約數/公倍數計算器

本計算器提供快速、精確的最大公約數 (GCD) 和最小公倍數 (LCM) 計算，支援 2-10 個數字同時計算。除了結果外，還提供完整的計算步驟展示，包括輾轉相除法、短除法、質因數分解法等，是學生學習數學、驗證作業答案的最佳工具。

如何使用

1. 輸入至少 2 個正整數 (最多 10 個)
2. 計算器會即時顯示最大公約數 (GCD) 和最小公倍數 (LCM)
3. 點擊步驟展示區域，查看詳細計算過程
4. 查看質因數分解視覺化圖表，理解 GCD 和 LCM 的數學原理
5. 使用「分享連結」按鈕分享您的計算結果
6. 使用「匯出 PDF」按鈕下載計算報告

功能特色

• 支援 2-10 個數字同時計算 GCD 和 LCM
• 提供三種計算步驟展示：輾轉相除法、短除法、質因數分解法
• 視覺化圖表展示質因數分解結果
• 自動計算所有因數和前 N 個倍數
• 支援即時計算，輸入後立即顯示結果
• 提供 URL 分享功能，方便分享計算結果
• 支援匯出 PDF 報告
• 鍵盤快捷鍵支援 (Ctrl+R 重置, Ctrl+S 分享, Ctrl+P 匯出)
• 響應式設計，支援手機、平板、電腦
• 雙語支援：繁體中文、英文

什麼是最大公約數 (GCD)？

最大公約數 (Greatest Common Divisor, GCD)，又稱最大公因數 (Greatest Common Factor, GCF)，是能同時整除多個整數的最大正整數。例如，12 和 18 的最大公約數是 6，因為 6 是能同時整除 12 和 18 的最大整數。GCD 在數學中有廣泛應用，包括分數化簡、模運算、密碼學等領域。

什麼是最小公倍數 (LCM)？

最小公倍數 (Least Common Multiple, LCM) 是多個整數的公倍數中最小的正整數。例如，12 和 18 的最小公倍數是 36，因為 36 是 12 和 18 的公倍數中最小的。LCM 在日常生活中有許多應用，例如計算齒輪比、音樂節奏同步、排程週期計算等。

輾轉相除法 (歐幾里得算法)

輾轉相除法，又稱歐幾里得算法 (Euclidean Algorithm)，是計算最大公約數的高效算法，時間複雜度為 O(log n)。基本原理是利用「gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)」的性質，不斷將較大的數替換為兩數相除的餘數，直到餘數為 0。例如：gcd(1071, 462) → gcd(462, 147) → gcd(147, 21) → gcd(21, 0) = 21。此算法由古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中提出，是已知最古老的非平凡算法。

什麼是貝祖等式 (Bézout's Identity)？

貝祖等式（又稱裴蜀定理、貝祖引理）是數論中的重要定理，指出：對於任意兩個整數 a 和 b，存在整數 x 和 y（稱為貝祖係數），使得 ax + by = gcd(a,b)。這個定理由法國數學家艾蒂安·貝祖 (Étienne Bézout) 提出，在數論、密碼學（如 RSA 加密）、解線性丟番圖方程等領域有重要應用。擴展歐幾里得算法可以高效計算出這些係數 x 和 y。例如：12×(-1) + 18×1 = 6，其中 6 是 gcd(12, 18)，-1 和 1 就是貝祖係數。

貝祖等式的應用

• RSA 加密算法：計算模反元素（模逆運算）
• 解線性丟番圖方程：ax + by = c 的整數解
• 模運算：計算乘法逆元 (multiplicative inverse)
• 數論研究：證明互質性質、歐拉定理
• 密碼學：Diffie-Hellman 金鑰交換、橢圓曲線密碼學

GCD 和 LCM 的實際應用

• 分數化簡：使用 GCD 將分數約分為最簡分數
• 齒輪比計算：使用 LCM 計算齒輪同步轉動的週期
• 音樂節奏：使用 LCM 計算不同節拍同步的時間點
• 排程週期：使用 LCM 計算多個週期事件同時發生的時間
• 密碼學：RSA 加密算法使用 GCD 計算模反元素
• 網格佈局：使用 LCM 計算最小公共網格單位
• 數論研究：GCD 和 LCM 是數論的基礎概念

常見問題 (FAQ)

鍵盤快捷鍵

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