數列計算器

關於數列計算器

數列計算器是一個專業的數學工具，幫助您快速計算等差數列和等比數列的各種性質。無論是高中數學作業、大學微積分課程，還是金融投資應用，本計算器都能提供準確的結果和詳細的計算步驟。我們的公式經過 Wolfram MathWorld 和 Khan Academy 等權威來源驗證，確保 100% 準確。

如何使用數列計算器

1. 選擇數列類型: 等差數列、等比數列，或兩者比較
2. 輸入首項 a₁ 和公差 d (等差) 或公比 r (等比)
3. 輸入要計算的項數 n (第幾項)
4. 查看計算結果: 第n項 (aₙ)、前n項和 (Sₙ)、無窮級數和 (等比)
5. 探索圖表視覺化、詳細計算步驟和數列項次列表

實際應用範例

🏦 本金均攤貸款 (等差數列)

貸款60萬元，分20期償還，月息1%。每期償還本金3萬元(固定)，利息逐期遞減300元，形成等差數列。首月利息 = 600,000 × 0.01 = 6,000元，第n期利息 = 6,000 - (n-1) × 300。總利息 = S₂₀ = 20(6,000+300)/2 = 63,000元。

💰 定存複利 (等比數列)

存款10萬元，年利率2%，每年複利計算。5年後本利和 = 10 × 1.02⁵ ≈ 110,408元。本金增長形成等比數列(r=1.02)。

🏙️ 人口成長 (等比數列)

某城市人口100萬，每年成長3%。10年後人口 = 100 × 1.03¹⁰ ≈ 134.4萬人。人口成長符合等比數列(r=1.03)。

數列公式總覽

等差數列: aₙ = a₁ + (n-1)d，前n項和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n[2a₁+(n-1)d]/2。

等比數列: aₙ = a₁ × r^(n-1)，前n項和 Sₙ = a₁(1-r^n)/(1-r) (當 r≠1)。

無窮等比級數: S = a₁/(1-r)，當且僅當 |r| < 1 時收斂。

常見問題 (FAQ)

Q1: 等差數列和等比數列有什麼差別?

A1: 等差數列的相鄰兩項「相減」為固定值，等比數列的相鄰兩項「相除」為固定值。簡單記憶: 等差用加減，等比用乘除。

Q4: 無窮等比級數什麼時候收斂?

A4: 當公比 r 的絕對值小於 1 (|r| < 1) 時，無窮等比級數收斂，和為 S = a₁/(1-r)。

數列在生活中的應用

數列不只是數學課本上的知識，更是生活中無處不在的工具：貸款計算、複利理財、人口預測、放射性衰變等都用得上。