排列組合計算機
快速計算排列P(n,r)、組合C(n,r)與階乘n!，附詳細步驟與視覺化
輸入參數
計算結果
巴斯卡三角形
數值比較圖表
關於排列組合計算機
排列組合計算機是一個免費的線上數學工具，幫助您快速計算排列P(n,r)、組合C(n,r)和階乘n!。無論您是高中生準備數學考試、大學生學習統計學，還是參加競賽程式設計，本計算機都能提供詳細的步驟說明和視覺化圖表，讓您更容易理解排列組合的概念。
如何使用
- 輸入 n（總項目數）：可選擇 0-170 之間的整數
- 輸入 r（選取項目數）：必須小於或等於 n
- 選擇計算類型：排列、組合或兩者都計算
- 勾選「顯示計算步驟」可查看詳細解題過程
- 查看結果、巴斯卡三角形和比較圖表
實際應用範例
範例 1：密碼排列
問題：使用0-9數字，設定4位數密碼（不重複），有幾種可能？答案：P(10,4) = 5,040種。因為密碼的順序重要，例如1234和4321是不同的密碼。
範例 2：課程選擇
問題：從8門選修課中選5門，有幾種選法？答案：C(8,5) = 56種。因為選課的順序不重要，選「國文、英文、數學、物理、化學」和「化學、物理、數學、英文、國文」是同一個選法。
範例 3：樂透機率
問題：大樂透從49個號碼中選6個，總共有幾種組合？答案：C(49,6) = 13,983,816種。這就是為什麼中大獎這麼難！
範例 4：座位安排
問題：5個人坐在5個座位上，有幾種排法？答案：P(5,5) = 5! = 120種。因為每個人坐的位置不同，順序很重要。
排列組合公式
排列公式：P(n,r) = n! / (n-r)!
從n個項目中選取r個進行排列，順序重要。例如：P(5,3) = 5! / 2! = 5×4×3 = 60
組合公式：C(n,r) = n! / [r! × (n-r)!]
從n個項目中選取r個，順序不重要。例如：C(5,3) = 5! / (3!×2!) = 10
階乘定義：n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1
n的階乘表示從n連續乘到1。特別地，0! = 1（根據定義）。例如：5! = 5×4×3×2×1 = 120
排列與組合的差別
排列考慮順序（如密碼、座位），組合不考慮順序（如選課、抽獎）。關鍵判斷：「調換順序後是否為不同結果？」若是，用排列；若否，用組合。
常見問題 FAQ
Q: 排列和組合有什麼差別？
A: 排列考慮順序，組合不考慮順序。例如：從ABC三個字母中選2個，排列有AB、BA、AC、CA、BC、CB共6種（P(3,2)=6），但組合只有AB、AC、BC共3種（C(3,2)=3），因為AB和BA在組合中視為相同。
Q: 什麼時候用排列？
A: 當順序重要時用排列。常見情境：密碼設定、座位安排、賽跑名次、撲克牌發牌順序、手機解鎖圖案。
Q: 什麼時候用組合？
A: 當順序不重要時用組合。常見情境：選修課選擇、樂透選號、委員會人選、撲克牌手牌（同樣的牌不論順序）、從班上選代表。
Q: 為什麼 0! 等於 1？
A: 根據數學定義，0! = 1。這樣定義是為了讓排列組合公式在邊界條件下仍然成立。例如：C(n,0) = n! / (0!×n!) = 1，意思是「從n個項目中選0個只有1種方法（就是什麼都不選）」，這在邏輯上是合理的。
Q: 計算機最大可以算到多少？
A: 本計算機支援 n 最大到 170。超過170會因為階乘值過大導致計算溢位。對於更大的數值，我們使用BigInt來處理，但可能會犧牲一些精確度。
Q: 巴斯卡三角形是什麼？
A: 巴斯卡三角形（Pascal's Triangle）是一個數字三角形，第n列第r個數字就是C(n,r)。每個數字等於它正上方兩個數字的和。它在組合數學、機率論、二項式定理中都有重要應用。
最後更新：2025年11月 | 本計算機基於標準數學公式，結果準確無誤差
