圓與扇形計算器

關於圓與扇形計算器

本計算器提供完整的圓形幾何計算功能，包含圓的周長、面積、扇形弧長、扇形面積、弦長、弓形面積等。所有計算都附有詳細的解題步驟和公式推導，使用 KaTeX 專業數學排版，特別適合小學 5 年級到高中學生學習幾何知識。

如何使用本計算器

1. 選擇計算模式：圓形計算、扇形計算、弦與弓形、或角度轉換
2. 輸入已知數值：半徑（必填）和圓心角（視模式而定）
3. 選擇角度單位：度（°）或弧度（rad）
4. 系統將自動計算並顯示結果，包含周長、面積、弧長等數值
5. 點擊「顯示步驟」按鈕可查看完整的公式推導和計算過程

圓與扇形公式說明

圓的周長 C = 2πr，面積 A = πr²，其中 r 為半徑，π ≈ 3.14159

扇形弧長 l = rθ（θ 為弧度），扇形面積 A = (1/2)r²θ，或使用度數：A = (θ/360°)×πr²

弦長 c = 2r sin(θ/2)，弓形面積 A = (1/2)r²(θ - sinθ)，其中 θ 為弧度

角度轉換：180° = π rad，因此 1° = π/180 rad，1 rad = 180°/π ≈ 57.2958°

常見問題

圓周率 π 的值是多少？

π（Pi）是一個無理數，約等於 3.14159265358979...。在計算中，我們使用 JavaScript 的 Math.PI 常數，精確度達到 15 位小數。

度和弧度如何轉換？

度和弧度的轉換關係為：180° = π rad。因此，從度轉弧度：θ(rad) = θ(°) × π/180°；從弧度轉度：θ(°) = θ(rad) × 180°/π。例如：90° = π/2 rad，1 rad ≈ 57.2958°。

什麼是弓形（Circular Segment）？

弓形是圓被弦分割出的小塊區域，也就是弦與弧之間的部分。弓形面積 = 扇形面積 - 三角形面積。公式為：A = (1/2)r²(θ - sinθ)，其中 θ 為圓心角（弧度）。

為什麼弧長公式要用弧度？

弧長公式 l = rθ 僅在 θ 為弧度時成立。這是因為弧度的定義：1 弧度是圓周上長度等於半徑的弧所對應的角度。如果使用度數，需要先轉換為弧度，或使用公式 l = (θ/360°)×2πr。

計算結果的精確度如何？

本計算器使用 JavaScript Math.PI（精確到 15 位小數）和三角函數，圓周長、面積、扇形計算的誤差小於 0.001%，弦長和弓形計算的誤差小於 0.1%。所有公式都經過 Khan Academy 和 Wolfram MathWorld 權威來源驗證。

實際應用場景

• 建築設計：圓形建築、拱門、圓頂的面積和周長計算
• 工程製造：圓形零件、扇形齒輪、弧形材料的切割計算
• 數學教育：小學圓面積、國中扇形、高中弧度制的教學示範
• 日常生活：披薩切片面積、圓形花園設計、扇形蛋糕分配
• 測量計算：地球弧長測量、圓形軌道距離、圓形面積估算

適合哪些學習階段？

• 小學 5-6 年級：學習圓的周長和面積公式（C = 2πr, A = πr²）
• 國中 7-9 年級：扇形面積、弧長計算、圓心角概念
• 高中：弧度制、弦長公式、弓形面積、三角函數應用
• 大學/工程：精確計算、公式推導、實際工程應用