極限計算器
計算數值極限、應用羅必達法則、分析函數趨勢
輸入函數與極限點
輸入數學函數,支援: +, -, *, /, ^(乘方), sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, abs
輸入數值或 infinity (可用 inf 簡寫)
常見範例
多項式極限: (x²-4)/(x-2)
limx→2 (x²-4)/(x-2)
三角極限: sin(x)/x
limx→0 sin(x)/x
無窮極限: (3x²+5)/(2x²-1)
limx→∞ (3x²+5)/(2x²-1)
單側極限: |x|/x
limx→0⁻ |x|/x
三角函數: (1-cos(x))/x²
limx→0 (1-cos(x))/x²
指數函數: (e^x-1)/x
limx→0 (e^x-1)/x
根式極限: (√(x+1)-1)/x
limx→0 (√(x+1)-1)/x
立方差: (x³-8)/(x-2)
limx→2 (x³-8)/(x-2)
關於極限計算器
極限計算器是專為學生和教師設計的微積分學習工具。透過數值逼近、符號化簡和羅必達法則,幫助您理解函數在特定點的極限行為。支援雙側極限、單側極限和無窮極限計算,並提供詳細的解題步驟和視覺化圖形。
主要功能
- 數值逼近法:顯示 x 值逼近極限點的函數值表
- 符號化簡:自動進行因式分解、有理化等代數操作
- 羅必達法則:自動偵測 0/0 和 ∞/∞ 不定型並應用法則
- 單側極限:分別計算左極限和右極限,判斷極限存在性
- 視覺化圖形:繪製函數曲線並標註極限點
- 詳細步驟:每個計算都有完整的解題過程說明
如何使用
- 輸入函數表達式 f(x),支援常見數學函數 (sin, cos, exp, ln 等)
- 設定極限點 (可為數值或 infinity)
- 選擇極限類型 (雙側、左側或右側)
- 選擇計算方法或讓系統自動選擇
- 查看計算結果、逼近值表和圖形
- 展開詳細步驟了解解題過程
極限類型說明
雙側極限:函數從左右兩側趨近同一值
左極限 (x→a⁻):僅考慮 x 從小於 a 的方向趨近
右極限 (x→a⁺):僅考慮 x 從大於 a 的方向趨近
無窮極限:x 趨近於正無窮大或負無窮大
羅必達法則
當遇到 0/0 或 ∞/∞ 不定型時,可將原極限轉換為分子分母導數的極限。本計算器會自動偵測適用情況並應用此法則。
計算技巧
- 多項式極限:先嘗試因式分解和約分
- 根式極限:使用有理化技巧消除根號
- 三角極限:記住常用極限如 lim(x→0) sin(x)/x = 1
- 無窮極限:找出最高次項並提出
- 單側極限:注意函數在極限點附近的定義
- 不定型:檢查是否可應用羅必達法則
