方程式求解器

關於方程式求解器

本方程式求解器提供完整的數學方程式求解功能，支援一元一次方程式、一元二次方程式、以及二元一次聯立方程式。無論您是國中生、高中生、數學教師，還是需要驗算作業的學生，這個工具都能幫助您快速求解方程式並顯示詳細的解題步驟。

如何使用方程式求解器

1. 選擇方程式類型：從下拉選單中選擇一元一次、一元二次或二元一次聯立方程式
2. 輸入各項係數：根據您的方程式，輸入對應的係數值（a, b, c 等）
3. 點擊「求解」按鈕：系統會自動計算並顯示結果
4. 查看解題步驟：展開步驟區塊，查看完整的求解過程
5. 觀察圖形視覺化：對於二次方程式和聯立方程式，可以看到拋物線或直線的圖形

功能特色

• 支援多種方程式類型：一元一次、一元二次、二元一次聯立方程式
• 詳細解題步驟：從原方程式到最終解答，每一步都清楚呈現
• 圖形視覺化：拋物線圖形、直線交點圖，幫助理解方程式的幾何意義
• 根的判別式：自動計算並顯示判別式 Δ，判斷根的性質
• 即時計算：輸入係數後即時更新結果，無需等待
• URL 分享功能：產生專屬連結，輕鬆分享您的計算結果
• PDF 匯出：將計算結果和步驟匯出為 PDF 檔案，方便保存和列印
• 資料持久化：自動儲存您的輸入，下次開啟時可繼續使用
• 分數係數支援：可輸入分數形式的係數（如 2/3），自動化簡至最簡分數
• 複數根視覺化：複數根以直角座標與極座標雙重形式呈現，搭配複數平面圖
• 參數動畫功能：實時調整二次方程式係數，觀察拋物線與根的動態變化
• 智能方程式識別：直接輸入方程式文字，系統自動識別類型並填入係數

支援的解法

一元一次方程式 (ax + b = c)

透過移項和除法求解，步驟簡單明瞭。公式：x = (c - b) / a

一元二次方程式 (ax² + bx + c = 0)

支援多種解法：

• 公式解: 使用求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)
• 因式分解: 將方程式分解為 (x - r₁)(x - r₂) = 0
• 配方法: 轉換為完全平方式 (x + p)² = q

二元一次聯立方程式

支援以下解法：

• 加減消去法: 透過加減消去一個未知數
• 代入消去法: 將一個方程式代入另一個
• 克拉瑪公式: 使用行列式求解，公式化方法

判別式的意義

對於一元二次方程式 ax² + bx + c = 0，判別式 Δ = b² - 4ac 可以判斷根的性質：

• Δ > 0: 方程式有兩個相異的實數根
• Δ = 0: 方程式有一個重根（兩個相同的實數根）
• Δ < 0: 方程式沒有實數根（有兩個共軛複數根）

範例題目

範例 1：一元一次方程式

題目：2x + 3 = 7
解：x = 2
步驟：2x = 7 - 3 = 4 → x = 4 ÷ 2 = 2

範例 2：一元二次方程式（兩實根）

題目：x² - 5x + 6 = 0
解：x = 2 或 x = 3
判別式 Δ = 25 - 24 = 1 > 0（兩相異實根）。因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0

範例 4：二元一次聯立方程式

題目：x + y = 5 且 2x - y = 4
解：x = 3, y = 2
加減消去法：將兩式相加得 3x = 9 → x = 3，代入得 y = 2

常見問題

Q1：什麼是判別式？
A：判別式 Δ = b² - 4ac 是一元二次方程式的重要參數，用來判斷方程式根的性質。Δ > 0 有兩個不同的實根，Δ = 0 有一個重根，Δ < 0 無實根。

Q2：什麼時候使用因式分解法？
A：當一元二次方程式的係數比較簡單，且能找到兩個整數根時，因式分解法是最快的方法。例如 x² - 5x + 6 = 0 可分解為 (x-2)(x-3) = 0。

Q4：如何判斷聯立方程式無解？
A：當兩條直線平行（斜率相同但截距不同）時，聯立方程式無解。用克拉瑪公式來看，就是主行列式 D = 0 但 Dx 或 Dy ≠ 0。