遞迴數列計算器
取得第 n 項、黃金比例與完整數列，作業一秒搞定。
你要算什麼？
點一個常見數列或課本題型，我們幫你設定好。
經典數列
應用題（同樣的數學，真實情境）
數列設定
遞迴係數
試試 p=1, q=1——這是費氏數列的推廣。公式：aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₋₂
進階：特徵方程與黃金比例
x² - x - 1 = 0
計算步驟（作業寫過程用）
把這些步驟直接貼進你的解答。
第 n 項
n = 10
0
如果你的課本把 F(1)=1 當作第一項（而非 F(0)=0），請把索引位移一位——依你課程的慣例為準。
完整數列
複製格式：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
——永遠完整，絕不截斷
其他結果
收斂比值 aₙ/aₙ₋₁
-
已計算項數
0
與黃金比例差異
φ
誤差:
0
數列數值圖
收斂比值圖
關於遞迴數列計算器
遞迴數列計算器是一款專業的數學工具，幫助您計算和分析各種遞迴數列。
功能特色
- 支援費氏數列、盧卡斯數列、帕多萬數列
- 自訂二階和三階遞迴關係，靈活設定係數
- 特徵方程自動求解，計算特徵根和閉式解
- 黃金比例和塑膠常數收斂分析
- 視覺化圖表展示數列數值和收斂趨勢
- 詳細計算步驟，幫助理解遞迴過程
使用方法
- 選擇數列類型：費氏數列、盧卡斯數列、帕多萬數列或自訂遞迴
- 設定初始值（a₀, a₁, a₂）和遞迴係數（如適用）
- 輸入要計算的項數 n（1-50）
- 查看計算結果，包括第 n 項數值、收斂比值和特徵方程
- 分析圖表，觀察數列成長趨勢和收斂行為
- 匯出 PDF 報告或分享計算結果
什麼是費氏數列？
費氏數列是最著名的遞迴數列之一，定義為 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，每一項是前兩項之和，相鄰項比值收斂到黃金比例 φ ≈ 1.618。
什麼是盧卡斯數列？
盧卡斯數列與費氏數列有相同的遞迴關係，但使用不同的初始值 L(0)=2, L(1)=1，同樣收斂到黃金比例。
什麼是帕多萬數列？
帕多萬數列是一個三階遞迴數列，定義為 P(n) = P(n-2) + P(n-3)，比值收斂到塑膠常數 ψ ≈ 1.324718。
特徵方程與閉式解
線性遞迴數列可以透過特徵方程求解得到閉式解（Binet 公式）。費氏數列的特徵方程為 x² - x - 1 = 0，其根包含黃金比例。
實際應用
遞迴數列廣泛應用於電腦科學（動態規劃）、生物學（族群成長）、金融、物理與設計。經典的兔子繁殖與爬樓梯問題都由費氏數列描述。
使用技巧
- 選擇適當的項數 n：n 太大可能導致數值溢位，建議 n ≤ 50
- 觀察收斂比值圖：當比值穩定時，表示數列已收斂到特徵根
- 使用特徵方程計算大項數：對於 n > 50，建議使用閉式解而非遞迴計算
- 比較不同數列：費氏數列和盧卡斯數列都收斂到黃金比例，但成長速度不同
- 探索自訂遞迴：調整係數 p, q 觀察不同的收斂行為和特徵根
- 教學應用：使用計算步驟功能，幫助學生理解遞迴過程
