矩陣計算器
矩陣運算、行列式、反矩陣、秩與線性方程組求解
矩陣大小
矩陣 A
運算選擇
進階運算
計算選項
計算結果
關於矩陣計算器
本矩陣計算器提供完整的線性代數運算功能,支援 2×2 和 3×3 矩陣的各種運算。包含基本運算(加法、減法、乘法、轉置)、進階運算(行列式、反矩陣、秩、跡)以及詳細的計算步驟解說。適合高中生學習矩陣與行列式、大學生研讀線性代數課程,以及工程師進行快速矩陣計算。
如何使用
- 選擇矩陣大小(2×2 或 3×3)
- 在矩陣 A 和矩陣 B 中輸入數值
- 選擇要執行的運算類型
- 查看計算結果與詳細步驟解說
- 可以展開「詳細步驟」了解計算過程
常用公式
- 2×2 行列式: det(A) = ad - bc
- 3×3 行列式: 使用餘因子展開法沿第一列展開
- 反矩陣: A⁻¹ = adj(A) / det(A) (其中 adj(A) 為伴隨矩陣)
- 跡: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + aₙₙ (對角線元素總和)
- 秩: 使用列梯形式計算獨立列的數量
- 轉置: Aᵀ[i,j] = A[j,i] (列與行互換)
常見問題
什麼情況下矩陣無法求反矩陣?
當矩陣的行列式為零時,該矩陣為奇異矩陣(singular matrix),無法求反矩陣。這代表矩陣的列(或行)之間存在線性相依關係,不具有滿秩。
矩陣乘法的順序重要嗎?
是的,矩陣乘法不具交換律。A×B 通常不等於 B×A。此外,矩陣 A 的行數必須等於矩陣 B 的列數,乘法才能進行。結果矩陣的大小為 A 的列數 × B 的行數。
什麼是矩陣的秩?
矩陣的秩是其線性獨立的列(或行)的最大數量。對於 n×n 正方矩陣,若秩等於 n,則稱為滿秩矩陣;若秩小於 n,則稱為秩虧矩陣。秩可用來判斷線性方程組是否有唯一解。
轉置矩陣有什麼用途?
轉置矩陣在許多線性代數應用中很重要。例如:求對稱矩陣、計算內積、最小平方法、以及許多矩陣分解方法(如 QR 分解)都會用到轉置。若矩陣 A = Aᵀ,則稱為對稱矩陣。
應用領域
- 物理學: 量子力學的狀態轉換、電路分析
- 工程學: 結構力學、有限元素分析
- 電腦圖學: 3D 變換、旋轉、縮放
- 資料科學: 主成分分析(PCA)、線性回歸
- 經濟學: 投入產出分析、線性規劃
範例說明
範例 1: 2×2 矩陣加法
A = [[2,1],[3,4]], B = [[1,0],[0,1]], A+B = [[3,1],[3,5]]
範例 2: 2×2 行列式
A = [[2,1],[4,3]], det(A) = 2×3 - 1×4 = 2
範例 3: 2×2 反矩陣
A = [[2,1],[4,3]], det(A)=2, A⁻¹ = [[1.5,-0.5],[-2,1]]
