向量計算器

關於向量計算器

本向量計算器提供完整的2D與3D向量運算功能，包括向量加減法、點積、叉積、夾角計算、投影等。所有運算都經過嚴格驗證（基於Wolfram MathWorld與Khan Academy的線性代數課程），並提供即時視覺化圖形與詳細步驟解說，適合學生、工程師與研究人員使用。

功能特色

• 支援2D平面與3D空間兩種模式
• 完整運算：加減法、點積、叉積、夾角、投影、長度
• 即時視覺化：2D Canvas圖形與3D Three.js立體圖
• 詳細步驟：每個運算都提供完整計算過程
• 自動檢測向量關係（平行、垂直）
• 資料持久化：自動儲存計算狀態

使用說明

1. 選擇2D或3D模式
2. 輸入向量A與向量B的各個分量
3. 選擇要執行的運算類型
4. 查看計算結果、視覺化圖形與詳細步驟
5. 可匯出PDF報告或分享計算結果

應用領域

• 物理學：力的合成與分解、速度向量分析
• 工程學：結構力學、電磁場計算
• 電腦圖學：3D建模、光線追蹤、法向量計算
• 機器學習：特徵向量、降維分析
• 數學教育：線性代數、解析幾何教學
• 遊戲開發：物體移動、碰撞檢測、視角計算

核心公式

• 向量加法：A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)
• 向量減法：A - B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)
• 點積：A · B = Ax×Bx + Ay×By + Az×Bz
• 叉積：A × B = (AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy - AyBx)
• 向量長度：|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
• 夾角：θ = arccos((A·B) / (|A||B|))
• 純量投影：projB(A) = (A·B) / |B|
• 向量投影：projB(A) = ((A·B) / |B|²) × B

使用技巧

• 2D模式適合平面幾何問題，3D模式適合空間問題
• 點積可判斷向量夾角：正值表示銳角，負值表示鈍角，零表示垂直
• 叉積結果向量垂直於原兩向量（右手定則）
• 平行向量的叉積為零向量
• 垂直向量的點積為零
• 使用鍵盤快捷鍵：Ctrl+R重設、Ctrl+S分享、Ctrl+P匯出PDF

範例應用

物理：力的合成

兩個力F1=(3,4)N與F2=(1,2)N作用在同一點，合力為F1+F2=(4,6)N，大小為√52≈7.21N。

幾何：垂直判斷

向量A=(1,2,0)與B=(-2,1,0)的點積為1×(-2)+2×1+0×0=0，因此兩向量垂直。

3D圖學：法向量

平面上兩向量A=(1,0,0)與B=(0,1,0)的叉積為(0,0,1)，即該平面的法向量。