積分計算器
支援不定積分、定積分、數值積分與應用計算
積分模式
函數與參數設定
x^2 冪次,
sin(x) 三角,
e^x 指數,
ln(x) 對數
計算結果
關於積分計算器
這是一款功能完整的線上積分計算工具，支援不定積分、定積分、數值積分（梯形法則、Simpson 法則）、曲線下面積計算，以及旋轉體體積計算。每個計算都提供詳細的求解步驟與 KaTeX 渲染的數學公式，幫助學生理解積分概念與計算方法。適合高中生、大學生、工程師，以及所有需要積分計算的使用者。
如何使用
- 選擇積分模式
- 輸入函數表達式
- 設定積分上下限
- 查看計算結果
積分技巧說明
冪次法則
對於 x^n 形式的函數，積分公式為 ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C（n ≠ -1）。例如：∫ x² dx = x³/3 + C。這是最基本也最常用的積分規則。
三角函數積分
基本三角函數積分公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C，∫ cos(x) dx = sin(x) + C，∫ sec²(x) dx = tan(x) + C。記住這些基本公式對求解複雜積分很有幫助。
指數與對數函數
指數函數積分：∫ e^x dx = e^x + C。對數函數的倒數積分：∫ 1/x dx = ln|x| + C（這是 n = -1 的特殊情況）。
微積分基本定理
微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）是積分學的核心定理，它建立了微分與積分之間的關係。第二部分（也稱為 Newton-Leibniz 公式）指出：如果 F(x) 是 f(x) 的反導數，則 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)。這個定理讓我們可以透過求反導數來計算定積分，是定積分計算的基礎。
數值積分方法
當函數無法用符號方法積分時，數值積分方法就派上用場了。梯形法則（Trapezoidal Rule）將積分區間分成若干子區間，用梯形近似曲線下面積。Simpson 法則（Simpson's Rule）使用拋物線（二次多項式）近似，因此精度更高。Simpson 法則的誤差與 h⁴ 成反比，而梯形法則的誤差與 h² 成反比，所以在相同子區間數下，Simpson 法則通常更準確。
曲線下面積
定積分的幾何意義就是曲線下的面積。對於非負函數 f(x)，∫ₐᵇ f(x) dx 表示從 x = a 到 x = b 之間，f(x) 與 x 軸圍成的面積。如果函數有負值，積分會計算「代數面積」（負值部分為負面積）。若要計算實際的幾何面積，需要取絕對值或分段計算。
旋轉體體積
旋轉體（Solid of Revolution）是將平面區域繞某軸旋轉一周所形成的立體。圓盤法（Disk Method）用於計算繞 x 軸旋轉的體積：V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx。殼層法（Shell Method）用於繞 y 軸旋轉：V = 2π ∫ₐᵇ x·f(x) dx。這兩種方法是計算旋轉體體積的標準技巧，廣泛應用於工程和物理問題中。
計算範例
範例 1：基本多項式積分
計算 ∫ x² dx。套用冪次法則：∫ x² dx = x^(2+1)/(2+1) + C = x³/3 + C。驗證：對 x³/3 + C 微分得到 3x²/3 = x²，正確！
範例 2：定積分計算
計算 ∫₀³ 2x dx。先求反導數：F(x) = x²。套用基本定理：∫₀³ 2x dx = F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9。幾何意義：底為 3、高為 6 的三角形面積 = (1/2) × 3 × 6 = 9。
範例 3：數值積分
用梯形法則近似 ∫₀² x² dx（n=4）。h = (2-0)/4 = 0.5。計算各點：f(0)=0, f(0.5)=0.25, f(1)=1, f(1.5)=2.25, f(2)=4。梯形法則：T = (0.5/2)[0 + 2(0.25) + 2(1) + 2(2.25) + 4] = 2.75。精確值：8/3 ≈ 2.6667。誤差：約 3.12%。
範例 4：旋轉體體積
計算 y = x（從 x=0 到 x=2）繞 x 軸旋轉的體積。套用圓盤法：V = π ∫₀² x² dx = π [x³/3]₀² = π(8/3) = 8π/3 ≈ 8.378 立方單位。這個立體是一個圓錐，可以用幾何公式驗證：V = (1/3)πr²h = (1/3)π(2²)(2) = 8π/3，正確！
常見問題
什麼是定積分？
定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx 表示函數 f(x) 在區間 [a, b] 上的累積量。幾何上，它代表曲線下的面積（可能是代數面積）。物理上，它可以表示位移、功、機率等概念。定積分是一個數值，而不定積分是一個函數族（包含常數 C）。
梯形法則和 Simpson 法則有什麼差別？
梯形法則使用直線（梯形）來近似曲線下的面積，而 Simpson 法則使用拋物線（二次曲線）。Simpson 法則通常更精確，因為拋物線能更好地擬合曲線。但 Simpson 法則有個限制：子區間數 n 必須是偶數。如果函數本身就是二次多項式或更低次，Simpson 法則會得到精確結果。
為什麼需要絕對值？
因為對數函數 ln(x) 只對正數定義，但 1/x 在負數範圍也有定義。為了涵蓋所有 x ≠ 0 的情況，我們使用 ln|x|。這樣在 x < 0 時，|x| = -x，仍然是正數，對數就有定義了。
什麼情況下無法用符號方法積分？
有些函數雖然連續，但它們的反導數無法用初等函數（多項式、三角函數、指數函數、對數函數的組合）表示。例如 e^(-x²)、sin(x)/x、√(1+x³) 等。這時我們需要用數值積分方法（梯形法則、Simpson 法則）來得到近似值，或使用特殊函數（如誤差函數 erf）來表示。
圓盤法和殼層法何時使用？
圓盤法（Disk Method）適合用來計算繞 x 軸旋轉的體積，公式是 V = π ∫ [f(x)]² dx。殼層法（Shell Method）適合繞 y 軸旋轉，公式是 V = 2π ∫ x·f(x) dx。選擇哪種方法取決於旋轉軸和函數形式。有時兩種方法都可以用，選擇計算起來較簡單的那個。
使用技巧
- 輸入函數時，使用 x^2 表示 x²，使用 sin(x)、cos(x) 表示三角函數
- 數值積分時，增加子區間數 n 可以提高精度，但計算時間也會增加
- Simpson 法則比梯形法則精確，但需要偶數個子區間
- 使用「顯示求解步驟」功能可以看到完整的計算過程，有助於學習
- 函數圖形會顯示積分區域（陰影部分），幫助理解積分的幾何意義
- 可以用分享功能將計算結果分享給其他人，或匯出成 PDF 保存
